а x = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.
Решение показательных уравнений
Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b
Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a
больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0
Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c . Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Представим 25 как 5 2 , получим: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Или что равносильно: x 2 - 2*x - 1 = 2. Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1. Ответ: 3;-1. Решим уравнение 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение: t 2 - 5*t + 4 = 0. Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4. Ответ: 0;2. Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел. Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 - 3*x) < 4. Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Получим: 7 - 3*x>-2. Отсюда: х<3. Ответ: х<3. Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно. Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе. Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике. Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств
, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится. Функцию вида y
= a x
, где a
> 0 и a
≠ 1, называют показательной функцией
. Основные свойства показательной функции
y
= a x
: Графиком показательной функции является экспонента
: Графики показательных функций (экспоненты) Показательными
называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только
в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений
требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Теорема 1.
Показательное уравнение a
f
(x
) = a
g
(x
) (где a
> 0, a
≠ 1) равносильно уравнению f
(x
) = g
(x
). Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Пример 1.
Решите уравнение: Решение:
используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид: Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их: Переходя к обратной подстановке, получаем: Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x
= 3. Это и будет являться ответом к заданию. Ответ:
x
= 3. Пример 2.
Решите уравнение: Решение:
ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x
(показательная функция y
= 9 4 -x
положительна и не равна нулю). Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней: Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1. Ответ:
x
= 6.
Пример 3.
Решите уравнение: Решение:
обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x
. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x
(показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: Ответ:
x
= 0. Пример 4.
Решите уравнение: Решение:
упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней: Деление обеих частей уравнения на 4 x
, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x
. Ответ:
x
= 0. Пример 5.
Решите уравнение: Решение:
функция y
= 3 x
, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y
= —x
-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x
= -1. Других корней не будет. Ответ:
x
= -1. Пример 6.
Решите уравнение: Решение:
упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x
и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ:
x
= 2. Показательными
называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только
в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств
требуется знание следующей теоремы: Теорема 2.
Если a
> 1, то неравенство a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
). Если 0 < a
< 1, то показательное неравенство a
f
(x
) > a
g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) < g
(x
). Пример 7.
Решите неравенство: Решение:
представим исходное неравенство в виде: Разделим обе части этого неравенства на 3 2x
, при этом (в силу положительности функции y
= 3 2x
) знак неравенства не изменится: Воспользуемся подстановкой: Тогда неравенство примет вид: Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8.
Решите неравенство: Решение:
используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде: Введем новую переменную: С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство: Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t
: Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем: Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству: Окончательно получаем ответ:
Пример 9.
Решите неравенство: Решение:
Делим обе части неравенства на выражение: Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем: t
, находящиеся в промежутке: Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая: Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе: Пример 10.
Решите неравенство: Решение:
Ветви параболы y
= 2x
+2-x
2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине: Ветви параболы y
= x
2 -2x
+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине: Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y
= 3 x
2 -2x
+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x
= 1. Ответ:
x
= 1. Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства,
необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене. P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно. Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему: Б) $\sqrt{\frac{2}{3}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}$. В) Исходное уравнение равносильно уравнению:
$x^2-6x=-3x+18$. Пример. Пример. Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений: Пример. Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$. Пример. Б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак. В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4Решение показательных неравенств
Показательная функция
Что такое показательная функция?
График показательной функции
Решение показательных уравнений
Решение показательных неравенств
Сергей Валерьевич
Урок и презентация на тему: "Показательные уравнения и показательные неравенства"
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Определение показательных уравнений
Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.
Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Примеры показательных уравнений
Пример.
Решить уравнения:
а) $3^{3x-3}=27$.
б) ${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
в) $5^{x^2-6x}=5^{-3x+18}$.
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что $27=3^3$.
Перепишем наше уравнение: $3^{3x-3}=3^3$.
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению $3х-3=3$, решив это уравнение, получим $х=2$.
Ответ: $х=2$.
Тогда наше уравнение можно переписать:
${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}={(\frac{2}{3})}^{0,2}$.
$2х+0,2=0,2$.
$х=0$.
Ответ: $х=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Решить уравнение: $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(\frac{1}{4})}^{x-0,5}$.
2) $\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$.
3) $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=\frac{{(\frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{\frac{1}{2}}}=
\frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=\frac{1}{4^x}={(\frac{1}{4})}^x$.
Перейдем к правой части:
4) $16=4^2$.
5) ${(0,0625)}^{x+1}=\frac{1}{{16}^{x+1}}=\frac{1}{4^{2x+2}}$.
6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=\frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=\frac{1}{4^{2x}}={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
${(\frac{1}{4})}^x={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
$x=2x$.
$x=0$.
Ответ: $х=0$.
Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.
Решение:
Перепишем наше уравнение:
${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.
${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.
Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.
В новых переменных уравнение примет вид:
$a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.
Ответ: $х=1$.
1. Графический метод.
Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей.
Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований.
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод замены переменных.
Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} {27}^y*3^x=1, \\ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. \end {cases}$.
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
$27^y*3^x=1$.
$3^{3y}*3^x=3^0$.
$3^{3y+x}=3^0$.
$x+3y=0$.
Рассмотрим второе уравнение:
$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.
$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений.
Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $\begin {cases} x+3y=0, \\ x+y=2. \end {cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
$\begin {cases} 2y=-2, \\ x+y=2. \end {cases}$.
$\begin {cases} y=-1, \\ x=3. \end {cases}$.
Ответ: $(3;-1)$.Показательные неравенства
Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.
Если $0a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)
Решить неравенства:
а) $3^{2x+3}>81$.
б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.
Решение.
а) $3^{2x+3}>81$.
$3^{2x+3}>3^4$.
Наше неравенство равносильно неравенству:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: $(-∞;-5]U}