Средняя гармоническая является обращенной к средней арифметической, исчисленную из обратных значений усредненной признаки. В зависимости от характера имеющегося материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты, или, что то же самое, умножать на обратное их значение. Таким образом, средняя гармоническая рассчитывается, когда известны данные об объеме признаки (Ш=хф) и индивидуальные значения признака (х) и неизвестные веса (ф). Так как объемы признаков представляют собой произведение значений признака (х) на частоту ф, то частоту ф определяют съемные = Ш: х.
Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:
Как видно, средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, предварительно определив веса отдельных значений признака. При исчислении средней гармонической весами являются объемы признаков.
Средняя гармоническая простая применяется в случаях, когда объемы явлений по каждому признаку уровне.
Например, три комбайнера работают на уборке зерновых культур. Первый комбайнер на уборке 1 га в течение 7-часовой смены затрачав 35 мин, второй - 31 мин, третий - 33 мин. Нужно определить средние затраты труда на уборку 1 га зерновых культур.
Расчет средних затрат времени на уборку 1 га зерновых культур по формуле средней арифметической простой был бы правильным
тогда, когда бы все комбайнеры в течение смены собрали по 1 га или одинаковое количество гектаров зерновых культур. Однако в течение смены отдельными комбайнерами была собрана разная площадь зерновых культур.
Неправомерность применения формулы средней арифметической объясняется еще и тем, что показатель затрат труда на единицу работ (уборки 1 га зерновых культур) является обратным к показателю производительности труда (сбора зерновых культур за единицу времени).
Среднее время, необходимое для уборки 1 га зерновых культур по всем комбайнерах определим как отношение затрат времени всеми комбайнерами до общего количества собранных гектаров. В нашем примере нет сведений о количестве фактически собранных гектаров каждым комбайнером. Однако эти величины можно вычислить по следующим соотношением:
где все затраченное время для каждого комбайнера составит 420 мин (7год o 60 мин).
Тогда средние затраты времени на уборку 1 га зерновых культур можно определить по формуле:
Расчеты можно значительно упростить, если использовать формулу средней гармонической простой:
Итак, по этой совокупности комбайнеров на уборку 1 га зерновых культур в среднем затрачивается 32,9 мин.
Порядок расчета средней гармонической взвешенной рассмотрим на следующем примере (табл. 4.3).
Таблица 4.3. Данные для расчета средней гармонической взвешенной
Поскольку средняя урожайность представляет собой отношение валового сбора к площади посева, то сначала определим площадь посева картофеля по каждому хозяйству, а затем среднюю урожайность:
Согласно одной из свойств средняя гармоническая не изменится, если объемы явлений, которые являются весами отдельных вариант, умножить или разделить на какое-либо произвольное число. Это дает возможность при ее исчислении пользоваться не абсолютными показателями, а их удельными весами. Допустим, нужно определить среднюю цену реализации картофеля по следующим данным (табл.4.4).
Таблица 4.4. Данные для расчета средней цены реализации картофеля
В приведенном примере отсутствуют данные о выручке от реализации отдельных сортов картофеля, которая представляет собой произведение цены реализации 1 ц на количество реализованной картофеля. Поэтому вместо объемов явлений можно использовать их соотношение, то есть удельный вес отдельных сортов картофеля в общей выручке. Используя данные таблицы, определим среднюю цену реализации картофеля:
Среднюю гармоническую применяют также для определения средней урожайности по группе однородных культур, если известны валовой сбор и урожайность отдельных культур, для расчета среднего процента выполнения плана производства и реализации продукции по однородной совокупности, если известны данные о фактически произведенную или реализованную продукцию и процент выполнения плана по отдельным объектам и т.д.
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние
Степенные средние:
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая
Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего - это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:
Простая средняя арифметическая - Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности
Средняя арифметическая взвешенная
Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.
Представим это в виде следующей формулы:
Взвешенная средняя арифметическая - равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.
Средняя арифметическая для интервального ряда
При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.
При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):
Средняя гармоническая - используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака и произведение, ачастоты неизвестны.
В примере ниже - урожайность известна,- площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность),- валовый сбор зерна известен.
Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:
Формула средней гармонической:
Гармоническая простая
В тех случаях, когда произведение одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:
Средняя гармоническая простая - показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.
Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:
Среднегеометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей.
Средняя гармоническая
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Средняя гармоническая |
| Рубрика (тематическая категория) | Культура |
Средняя гармоническая - ϶ᴛᴏ величина, обратная средней арифметической, ᴛ.ᴇ. состоит из обратных значений признака.
Пример 5. Расчет среднего процента выполнения плана. Имеются следующие данные:
В примере в качестве варьирующего признака выступают показатели степени выполнения плана (варианты), а план принимает за веса (частоты). При этом средняя получается как средняя арифметическая взвешенная:
В случае если при определении средней степени выполнения плана за веса принимать не задание, а фактическое его выполнение, то средняя арифметическая в данном случае даст неправильный результат:
Правильный результат при взвешивании по фактическому выполнению задания даст средняя гармоническая взвешенная:
где w - веса средней гармонической взвешенной.
Условия применения средней гармонической
1. Среднюю гармоническую используют, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности (носители признака), а произведения этих единиц на значения признака, ᴛ.ᴇ. 
.
Из этого правила следует, что средняя гармоническая в статистике по существу есть преобразованная средняя арифметическая, которая применяется когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объёмам признака.
2. В случае если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякое промежуточное действие при расчете средней должно давать экономически значимые результаты.
К примеру, при расчете среднего процента выполнения плана показатель выполнения плана умножаем на плановое задание и получаем фактическое выполнение плана. В случае если же показатель выполнения плана умножить на фактическое его выполнение, то с экономической точки зрения результат получится абсурдный. Значит, форма средней применена неверно).
Средняя гармоническая - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Средняя гармоническая" 2017, 2018.
Средняя гармоническая является первообразной формой средней арифметической. Она рассчитывается в тех случаях, когда веса fi не заданы непосредственно, а входят как сомножитель в один из имеющихся показателей. Также как и арифметическая, средняя гармоническая может быть... .
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Характеристиками вариационных рядов, наряду со... .
Средняя арифметическая взвешенная Применяется в том случае, когда в качестве весов используются показатели количества товаров в натуральном выражении; где pq - товарооборот в рублях. Применяется в том случае, когда в качестве весов используются данные о продаже... .
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Таким образом, формула для расчета средней... .
Сущность и значение средних величин, их виды Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина. Показатель в форме средней величины выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних...
Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина . Показатель в форме средней величи-ны выражает типичный уровень признака в совокупности. Широкое применение средних величин объясняется тем, что они позволяют и сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным сово-купностям. Например, можно сравнивать среднюю продолжитель-ность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень заработной платы по различным предприятиям.
Сущность средних величин заключается в том, что в них взаи-мопогашаются отклонения значений признака у отдельных единиц со-вокупности, обусловленные действием случайных факторов. Поэтому средние величины должны рассчитываться для достаточно много-численных совокупностей (в соответствии с законом больших чи-сел). Надежность средних величин зависит также от колеблемости значений признака в совокупности. В общем случае, чем меньше ва-риация признака и чем больше совокупность, по которой определяет-ся средняя величина, тем она надежнее.
Типичность средней величины непосредственным образом свя-зана также с однородностью статистической совокупности. Сред-няя величина только тогда будет отражать типичный уровень призна-ка, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. В противном случае метод средних используется в сочетании с методом группировок. Если совокупность неоднородна, то общие средние заменяются или дополняются групповыми средними, рассчитанными по качественно однородным группам.
Выбор вида средних определяется экономическим содержание ем исследуемого показателя и исходных данных. Наиболее часто в статистике применяются следующие виды средних величин: степен-ные средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д.), средняя хронологическая, а также структурные средние (мода и медиана).
Средняя арифметическая величина наиболее часто встреча-ется в социально-экономических исследованиях. Средняя арифмети-ческая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.
Рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.1):
где x - индивидуальные значения признака (варианты);
n - число единиц совокупности.
Пример. Требуется найти среднюю выработку рабочего в бри-гаде, состоящей из 15 человек, если известно количество изделий, произведенных одним рабочим (шт.): 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным на основании формулы (4.2):
где f - частота повторения соответствующего значения признака (варианта);
∑f — общее число единиц совокупности (∑f = n).
Пример . На основании имеющихся данных о распределении ра-бочих бригады по количеству выработанных ими изделий требуется найти среднюю выработку рабочего в бригаде.
Примечание 1. Средняя величина признака в совокупности может рассчитываться как на основании индивидуальных значений признака, так и на основании групповых (частных) средних, рассчитанных по отдельным частям совокупности. При этом используется формула средней арифметической взвешенной, а в качестве вариантов значений признака рассматриваются групповые (частные) средние (x j ).
Пример. Имеются данные о среднем стаже рабочих по цехам завода. Требуется определить средний стаж рабочих в целом по заводу.
Примечание 2. В том случае, когда значения осредняемого признака зада-ны в виде интервалов, при расчете средней арифметической величины в качестве значений признака в группах принимают средние значения этих интервалов (х ’) . Таким образом, интервальный ряд преобразуется в дискретный. При этом величи-на открытых интервалов, если таковые имеются (как правило, это первый и по-следний), условно приравнивается к величине интервалов, примыкающих к ним.
Пример. Имеются данные о распределении рабочих предпри-ятия по уровню заработной платы.
Средняя гармоническая величина является модификацией средней арифметической. Применяется в тех случаях, когда известны индивидуальные значения признака, т. е. варианты (x ), и произведений вариант на частоту (xf = М), но неизвестны сами частоты (f ).
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле (4.3):
Пример . Требуется определить средний размер заработной платы работников объединения, состоящего из трех предприятий, если известен фонд заработной платы и средняя заработная плата работников по каждому предприятию.
Средняя гармоническая простая в практике статистики исполь-зуется крайне редко. В тех случаях, когда xf = Mm = const, средняя гар-моническая взвешенная превращается в среднюю гармоническую простую (4.4):
Пример . Две машины прошли один и тот же путь. При этом одна из них двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая - со скоростью 80 км/ч. Требуется определить среднюю скорость машин в пути.
Другие виды степенных средних. Средняя хронологическая
Средняя геометрическая величина используется при расчете средних показателей динамики. Средняя геометрическая применяется в форме простой средней (для несгруппированных данных) и взве-шенной средней (для сгруппированных данных).
Средняя геометрическая простая (4.5):
где n — число значений признака;
П — знак произведения.
Средняя геометрическая взвешенная (4.6):
Средняя квадратическая величина используется при расчете показателей вариации. Применяется в форме простой и взвешенной.
Средняя квадратическая простая (4.7):
Средняя квадратическая взвешенная (4.8):
Средняя кубическая величина используется при расчете показателей асимметрии и эксцесса . Применяется в форме простой взвешенной.
Средняя кубическая простая (4.9):
Средняя кубическая взвешенная (4.10) :
Средняя хронологическая величина используется для расчета среднего уровня ряда динамики (4.11):
Структурные средние
Помимо рассмотренных выше средних величин в статистике используются структурные средние, к которым относятся мода и ме-диана.
Модой (Мо) называется значение изучаемого признака (вари-ант), которое чаще всего встречается в совокупности. В дискретном ряду мода определяется достаточно просто — по максимальному пока-зателю частоты. В интервальном вариационном ряду мода приблизительно соответствует центру модального интервала, т. е. интервала, имеющего большую частоту (частость).
Конкретное значение моды рассчитывается по формуле (4.12):
где нижняя граница модального интервала;
ширина модального интервала;
частота, соответствующая модальному интервалу;
частота интервала, предшествующего модальному;
частота интервала, следующего за модальным.
Медианой (Ме) называется значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда. Под ранжированным понимают ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания значений признака. Медиана делит ранжированный ряд на две части, одна из которых имеет значения признака не большие, чем медиана, а друга - не меньшие.
Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медиа-ной является варианта, расположенная в центре ряда. Положение ме-дианы определяется порядковым номером единицы ряда в соответст-вии с формулой (4.13):
где n - число членов ранжированного ряда.
Для ранжированного ряда с четным числом членов медиа-ной является среднее арифметическое из двух смежных значений, на-ходящихся в центре ряда.
В интервальном вариационном ряду для нахождения медиа-ны применяется следующая формула (4.14):
где нижняя граница медианного интервала;
ширина медианного интервала;
накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
частота медианного интервала.
Пример. Рабочие бригады, состоящей из 9 чел., имеют сле-дующие тарифные разряды: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Требуется опреде-лить модальное и медианное значения тарифного разряда.
Поскольку в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, то этот разряд и будет модальным, т. е. Мо = 3.
Для определения медианы осуществим ранжирование исходного ряда в порядке возрас-тания значений признака:
2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.
Центральным в этом ряду является пятое по счету значение признака. Соответственно Ме = 4.
Пример. Требуется определить модальный и медианный тарифный разряд рабочих завода по данным следующего ряда распределения.
Поскольку исходный ряд распределения является дискретным, то модальное значение определяется по максимальному показателю частоты. В данномпримере на заводе больше всего рабочих 3-го разряда (f max = 30), т.е. этот разряд является модальным (Мо = 3).
Определим положение медианы. Исходный ряд распределения построен на основании ранжированного ряда, упорядоченного по воз-растанию значений признака. Середина ряда находится между 50-м и 51-м порядковыми номерами значений признака. Выясним, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Для это-го рассчитаем накопленные частоты. Накопленные частоты ука-зывают на то, что медианное значение тарифного разряда равно трем (Ме = 3), поскольку значения признака с порядковыми номе-рами от 39-го до 68-го, в том числе 50-е и 51-е, равны 3.
Пример. Требуется определить модальную и медианную зара-ботную плату рабочих завода по данным следующего ряда распределения.
Поскольку исходный ряд распределения является интерваль-ным, то модальное значение заработной платы рассчитывается по формуле. При этом модальным является интервал 360-420 с максимальной частотой, равной 30.
Медианное значение заработной платы также рассчитывает-ся по формуле. При этом медианным является интервал 360-420, на-копленная частота которого равна 70, тогда как накопленная час-тота предыдущего интервала составляла только 40 при общем числе единиц, равном 100.
