Свойства функций играют важную роль при их изучении. Они позволяют делать определенные выводы о функциях. Изучение данной темы крайне важно для обучающихся, особенно старших классов. Это связано с тем,что задания по данной теме довольно часто встречаются в КИМ государственной итоговой аттестации.
Видеоурок по теме «Свойства функции» разработан автором для облегчения работы учителя и его подготовки к урокам. Если использовать данный материал на уроках, то появится больше свободного времени, которое можно посвятить индивидуальному обучению или другим направлениям обучения математики в школе.
Длительность урока составляет 8:23 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы объяснить материал на уроке, который длится 40-45 минут. При этому учитель успеет актуализировать знания обучающихся, повторить необходимый материал, просмотреть видеоурок, а затем еще и закрепить материал.
Рассмотрение материала начинается непосредственно с первого свойства, которое называется монотонность. Это понятие подробно расписывается на математическом языке, что способствует развитию математической грамотности обучающихся, а также словесно поясняется каждая запись на экране. Далее автор демонстрирует на рисунке, как выглядит монотонная функция для случаев возрастания и убывания. После этого дается определение монотонной функции. Здесь же дается правило для запоминания, которое связано с монотонностью функции. Далее предлагается рассмотреть эту теорию на примере. На рисунке изображен график, на экране последовательно выделяются промежутки возрастания и убывания. Показана и математическая запись этих промежутков.
Согласно условию другого примера, необходимо исследовать функцию на монотонность. Чтобы определить монотонность функции, автор воспользовался определением возрастающей и убывающей функции. В результате получается, что функция убывает на всей области определения.
Затем на экране демонстрируются примеры возрастающих функций на всей области определения.
Далее внимание обучающихся обращается ко второму свойству, которое называется ограниченностью. Рассмотрение этого свойства строится по аналогии с первым свойством. Рассматривается понятие ограниченности, все это иллюстрируется на рисунке, как ограниченность снизу, так и ограниченность сверху. Затем на экране появляется пример ограниченной функции.
Важными понятиями в пункте ограниченность являются наибольшее и наименьшее значение функции. В качестве иллюстрации показан рисунок и идет подробное описание этих понятий.
После примера рассматривается третье свойство, которое называется выпуклостью. Это понятие иллюстрируется с помощью рисунка. На данном свойстве автор не останавливается так же подробно, как на предыдущих. Он сразу переходит к четвертому свойству - непрерывности. Здесь вводится понятие непрерывной функции. После этого демонстрируется это свойство на рисунке с подробными пояснениями.
Далее рассматривается свойство четности и нечетности. И тут же объясняется, когда функция четная и нечетная. Объяснения сопровождаются иллюстрациями и подробными описаниями. Это показано на примерах двух функций.
И, наконец, рассматривается шестое свойство - периодичность. На нем автор не останавливается, отмечая, что примеры периодичных функций будут изучены в дальнейшем на уроках алгебры.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Первое свойство, которое мы рассмотрим -монотонность.
Внимание: во всех определениях рассматривается числовое множество икс большое - подмножество области определения функции.
Функция игрек равно эф от икс возрастает на множестве икс большое, которое является подмножеством области определения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе больше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция игрек равно эф от икс убывает на промежутке икс большое которое является подмножеством областиопределения и если для любых икс первое из множества икс большое и икс второе из множества икс большое таких,что икс второе больше икс первого выполняется неравенство эф от икс второе меньше эф от икс первое. Другими словами - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функция игрек равно эф от икс называется монотонной на множестве икс большое, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.
Запомни: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.
Например, функция, график которой изображен на рисунке, на промежутках
от минус бесконечности до минус пяти и от трех до плюс бесконечностивозрастает, а на промежутке от минус пяти до трех убывает. Пример. Исследовать функцию на монотонность: игрек равен шесть минус два икс.
Введем обозначение: эф от икс равен шесть минус два икс.
Если икс первое меньше икс второе, то используя свойства числовых неравенств, имеем
Значит, заданная функция убывает на всей числовой прямой.
Существуют функции, являющиеся возрастающими на всей области определения, например, игрек равен ка икс плюс вэ при ка больше нуля, игрек равен икс в кубе.
Второе свойство - ограниченность.
Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое больше некоторого числа эм малое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной снизу на множестве икс большое из области определения.
Если все значения функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое меньше некоторого числа эм большое, то функцию игрек равно эф от икс называют ограниченной сверху на множестве икс большое из области определения.
Запомни: если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.
По графику функции легко можно определить ее ограниченность.
Наибольшее значение функции обозначают игрек с индексом наибольшее. .
Игрик является наибольшим если:
Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм большое;
Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс меньше или равно эф от икс нулевое, то число эм большое называют наибольшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции.
Наименьшее значение функции обозначают игрек с индексом наименьшее
Во -первых, существует точка икс нулевое из множества икс большое такая, что эф от икс нулевое равно эм;
Во - вторых,для любого значения икс из множества икс большое выполняется неравенство эф от икс больше или равно эф от икс нулевое,то число эм называют наименьшим значением функции игрек равно эф от икс на множестве икс большое из области определения функции
Полезно запомнить:
Если у функции существует наименьшее значение., то она ограничена снизу.
Если у функции существует наибольшее значение, то она ограничена сверху.
Рассмотрим пример. Найти наименьшее значение функции
Функция, график которой изображен на рисунке, ограничена снизу, наименьшее значение функции равно нулю, а наибольшего не существует, функция сверху неограниченна.
Третье свойство: выпуклость вверх, выпуклость вниз.
Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать ниже проведенного отрезка, то такая функция выпукла вниз на промежутке икс большое из области определения.
Если,соединить любые две точки графика функции с абсциссами из икс большое отрезком и соответствующая часть графика будет лежать выше проведенного отрезка, то такая функция выпукла вверх на промежутке икс большое из области определения.
четвертое свойство: непрерывность.
Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
пятое свойство: четность, нечетность.
Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= f(х), то такая функция четная.
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Если область определения функции -симметричное множество и для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)= -f(х), то такая функция нечетная.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Так же существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными
шестое свойство: периодичность
примеры периодических функций будем рассматривать в дальнейшем
Если существует такое отличное от нуля число тэ большое, что для любого икс из области определения функции верно равенство эф от икс плюс тэ большое равно эф от икс и равно эф от икс минус тэ большое, то функция игрек равно эф от икс -периодическая. Число тэ большое - период функции игрек равно эф от икс
все тригонометрические функции периодические.
Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.
Определение
Частные значения
Пусть y(x)
= e x
.
Тогда
.
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y(x)
= e x
определена для всех x
.
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞
.
Ее множество значений:
0
< y < + ∞
.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.
Производная экспоненты
Производная е
в степени х
равна е
в степени х
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера
:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
;
;
.
Выражения через тригонометрические функции
;
;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Материал, представленный в видеоуроке, является продолжением темы построения графиков функций путем различных преобразований. Мы рассмотрим, как строится график функции y= f (kx ), если известен график функции у= f (x ) . В данном случае k - любое действительное число, не равное нулю.
Вначале рассмотрим случай, когда k - положительное число. Для примера построим график функции у= f (3 x ) , если график функции у= f (х) у нас есть. На рисунке на оси координат изображен график у= f (х ), на котором есть точки с координатами А и В. Выбирая произвольные значения х и подставляя их в функцию у= f (3 x ), находят соответствующие значения функции у . Таким образом, получают точки графика функции у= f (3 x ) А 1 и В 1 , у которых ординаты такие же, как у точек А и В. То есть мы можем сказать, что из графика функции у= f (x ) путемсжатия с коэффициентом k к оси ординат можно получить график функции y= f (kx ) . Важно отметить, что точки пересечения с осью ординатпри сжатии остаются на прежнем месте.
В случае, когда k - отрицательное число, график функции y= f (kx ) преобразовывается из графика функции у= f (x ) путем растяжения от оси ординат с коэффициентом 1/ k .
1) вначале строится часть волны графика функции у = sin х (см. рисунок);
2) т.к. k = 2, выполняется сжатие графика функции у= sinx к оси ординат, коэффициент сжатия равен 2. Находим точку пересечения с осью x . Т.к. график функции у = sin х пересекает ось абсцисс в точке π, то график функции у = sin 2 х пересекает ось абсцисс в точке π/k = π/2.Аналогичным способом находятся все остальные точки графика функции у = sin 2x и по этим точкам строится весь график.
Рассмотрим 2-й пример - построение графика функции у = cos (x/2) .
1) строим часть волны графика функции у = cosх (см. рисунок);
2) т.к. k =1/2, выполняем растяжение графика функции у = sin х от оси ординат с коэффициентом ½.
Найдем точку пересечения графика с осью х . Т.к. график функции у = cos х пересекает ось абсцисс в точке π/2, то график функции у = cos (x/2) пересекает ось абсцисс в точке π. Таким же образом находим все остальные точки графика функции у = cos (x/2) , построим по этим точкам весь график.
Далее рассмотрим вариант построения графика функции y = f (kx ), где k - число отрицательное. Например, при k = -1 функция y = f (kx ) = f (- x ). На рисунке изображен график у= f (х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбрав произвольные значения х и подставив их в функцию y = f (- x ), находим соответствующие значения функции у . Получим точки графика функции y = f (- x ) А 1 и В 1 , которые будут симметричны точкам А и В относительно оси ординат. То есть при использовании симметрии относительно оси ординат из графика функции у= f (kx ) получаем график функции y= f (- x ).
Переходим к построению графика функции y = f (kx ) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).
1) построим часть волны графика у = sin х ;
2) т.к. k = 4, выполним растяжение полуволны графика относительно оси абсцисс, где коэффициент растяжения равен 4;
3) выполним симметричное преобразование относительно оси абсцисс;
4) произведем растяжение от оси ординат (коэффициент растяжения равен 2);
5) завершим построение всего графика.
В данном видеоуроке мы подробно рассмотрели, каким образом поэтапно можно построить график функции y= f (kx ) при разных значениях k .
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Сегодня познакомимся с преобразованием, которое поможет научиться строить график функции у = f (kx)
(игрек равен эф от аргумента, который представляет произведение ка и икс), если известен график функции у = f (x) (игрек равно эф от икс), где ка - любое действительное число (кроме нуля)».
1) Рассмотрим случай, когда k - положительное число на конкретном примере, когда k = 3.То есть нужно построить график функции
у = f (3x) (игрек равен эф от трех икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике функции у = f (x) есть точка А с координатами (6; 5) и В с координатами (-3; 2). Это значит, что f (6) = 5 и f (- 3) = 2 (эф от шести равно пяти и эф от минус трех равно двум). Проследим за перемещением этих точек при построении графика функции у = f (3x).
Возьмем произвольное значение х = 2, вычислим у, подставив значение х в график функции у = f (3x) , получим, что у = 5. (на экране: у = f (3x) = f (3∙2)= f (6) = 5.) То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с А 1 координатами (2; 5). Если же х = - 1, то подставив значение х в график функции у = f (3x), получим значение у= 2.
(На экране: у = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)
То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с координатами В 1 (- 1; 2). Итак, на графике функции у = f (3x) есть точки с той же ординатой, что и на графике функции у = f (x), при этом абсцисса точки в два раза меньше по модулю.
То же будет справедливо и для других точек графика функции у = f (x), когда мы будем переходить к графику функции у = f (3x).
Обычно такое преобразование называют сжатием к оси у(игрек) с коэффициентом 3.
Следовательно, график функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (x) с помощью сжатия к оси у(игрек) с коэффициентом k. Заметим, что при таком преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ординат.
Если же k меньше единицы, то говорят не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом (то есть, если k = , то говорят о растяжении с коэффициентом 4).
ПРИМЕР 1. Построить график функции у = sin 2x (игрек равен синусу двух икс).
Решение. Вначале построим полуволну графика у = sin x на промежутке от ноля до пи. Так как коэффициент равен двум, а значит k - положительное число больше единицы, значит осуществим сжатие графика функции у = sin x к оси ординат с коэффициентом 2. Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = sin x пересекает ось ОХ в точке π, то график функции у = sin 2x будет пересекать в точке (π: k =π: 2 =)(пи делим на ка равно пи деленное на два равно пи на два). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = sin2 x. Так, точке графика функции у = sin x с координатами (;1) будет соответствовать точка графика функции у = sin 2x с координатами (;1). Таким образом получим одну полуволну графика функции у = sin 2x. Используя периодичность функции построим весь график.
ПРИМЕР 2. Построить график функции у = cos (игрек равен косинусу частного икс и двух).
Решение. Вначале построим полуволну графика у = cos x. Так как k - положительное число меньше е единицы, значит осуществим растяжение графика функции у = cos x от оси ординат с коэффициентом 2.
Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = cos x пересекает ось ОХ в точке, то график функции у = cos будет пересекать в точке π. (: k =π: = π). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = cos. Таким образом получим одну полуволну искомого графика функции. Используя периодичность функции построим весь график.
Рассмотрим случай, когда k равно минус единице. То есть нужно построить график функции у = f (-x) (игрек равен эф от минус икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике есть точка А с координатами (4; 5) и точка В (-5; 1). Это значит, что f (4) = 5 и f (- 5) = 1.
Так как при подстановке в формулу у = f (-x) вместо х = - 4 получим у = f (4) = 5, то на графике функции у = f (-x) есть точка с координатами А 1
(- 4 ; 5) (минус четыре, пять). Аналогично, графику функции у = f (-x) принадлежит точка В 1 (5; 1).То есть графику функции у = f (x) принадлежат точки А(4; 5) и В(-5; 1), а графику функции у = f (-x) принадлежат точки А 1 (- 4; 5) и В 1 (5; 1). Эти пары точек симметричны относительно оси ординат.
Следовательно, график функции у = f (-x) с помощью преобразования симметрии относительно оси ординат можно получить из график функции у = f (x).
3) И, наконец, рассмотрим случай, когда k - отрицательное число. Учитывая, что равенство f (kx) = f (- |k|x) (эф от произведения ка на икс равно эф от произведения минус модуля ка и икса) справедливое, то речь идет о построении графика функции у = f (- |k|x), который можно построить поэтапно:
1) построить график функции у = f (x);
2) построенный график подвергнуть сжатию или растяжению к оси ординат с коэффициентом |k| (модуль ка);
3) осуществить преобразование симметрии относительно оси у
(игрек) полученного во втором пункте графика.
ПРИМЕР 3. Построить график функции у = 4 sin (-) (игрек равно четыре, умноженное на синус частного минус икс на два).
Решение. Прежде всего вспомним, что sin(- t) = -sint(синус от минус тэ равно минус синусу тэ), значит, у = 4 sin (-) = - 4 sin (игрек равен минус четырем, умноженным на синус частного икс на два). Строить будем поэтапно:
1) Построим одну полуволну графика функции у= sinх.
2) Осуществим растяжение построенного графика от оси абсцисс с коэффициентом 4 и получим одну полуволну графика функции
у= 4sinх(игрек равно четыре, умноженное на синус икс).
3) К построенной полуволне графика функции у= 4sinх применим преобразование симметрии относительно оси х(икс) и получим полуволну графика функции у= - 4sinх.
4) Для полуволны графика функции у= - 4sinх осуществим растяжение от оси ординат с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции - 4 sin .
5) С помощью полученной полуволны построим весь график.
Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Таблица производных некоторых функций
$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$Дата: 20.11.2014
Что такое производная?
Таблица производных.
Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.
Это знакомство позволит:
Понимать суть несложных заданий с производной;
Успешно решать эти самые несложные задания;
Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.
Сначала - приятный сюрприз.)
Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!
Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.
Приступим к знакомству?)
Термины и обозначения.
В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.
Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.
Дифференцирование - действие над функцией.
Производная - результат этого действия.
Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.
Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.
Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)
Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.
Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.
Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:
1. Таблица производных (формулы дифференцирования).
3. Производная сложной функции.
Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.
Таблица производных.
В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.
Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)
Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.
| Функция y |
Производная функции y y" |
|
| 1 | C (постоянная величина) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - любое число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x (a = e ) |
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти производную функции y = x 3
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2
Вот и все дела.
Ответ: y" = 3x 2
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
y" = (sin x)" = cosx
Подставляем ноль в производную:
y"(0) = cos 0 = 1
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...
Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y" = - sin x .
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.
